微積分的發展


微積分是微分和積分兩門學問的統稱,研究的範疇有三,包括微分、積分,以及微分和積分兩者之間的關係。微分主要討論一個變量怎樣隨時間(或其他變量)改變,而積分則主要討論計算面積的方法。它們兩者的關係由「微積分基本定理」(或稱「牛頓 - 萊布尼茨公式」)給出:簡單來說,這條定理說明,在適當的條件下,求積分是求微分之逆,求微分也是求積分之逆。以下簡介微積分發展的歷史。


一、 萌芽時期

早在希臘時期,人類已經開始討論「無窮」、「極限」以及「無窮分割」等概念。這些都是微積分的中心思想;雖然這些討論從現代的觀點看有很多漏洞,有時現代人甚至覺得這些討論的論証和結論都很荒謬,但無可否認,這些討論是人類發展微積分的第一步。

例如公元前五世紀,希臘的德謨克利特(Democritus)提出原子論:他認為宇宙萬物是由極細的原子構成。在中國,《莊子.天下篇》中所言的「一尺之捶,日取其半,萬世不竭」,亦指零是無窮小量。這些都是最早期人類對無窮、極限等概念的原始的描述。

其他關於無窮、極限的論述,還包括芝諾(Zeno)幾個著名的悖論1:其中一個悖論說一個人永遠都追不上一隻烏龜2,因為當那人追到烏龜的出發點時,烏龜已經向前爬行了一小段路,當他再追完這一小段,烏龜又已經再向前爬行了一小段路。芝諾說這樣一追一趕的永遠重覆下去,任何人都總追不上一隻最慢的烏龜--當然,從現代的觀點看,芝諾說的實在荒謬不過;他混淆了「無限」和「無限可分」的概念。人追烏龜經過的那段路縱然無限可分,其長度卻是有限的;所以人仍然可以以有限的時間,走完這一段路。然而這些荒謬的論述,開啟了人類對無窮、極限等概念的探討,對後世發展微積分有深遠的歷史意味。

另外值得一提的是,希臘時代的阿基米德(Archimedes)已經懂得用無窮分割的方法正確地計算一些面積,這跟現代積分的觀念已經很相似。由此可見,在歷史上,積分觀念的形成比微分還要早--這跟課程上往往先討論微分再討論積分剛剛相反。


二、 十七世紀的大發展--牛頓和萊布尼茨的貢獻

中世紀時期,歐洲科學發展停滯不前,人類對無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有甚麼突破。中世紀以後,歐洲數學和科學急速發展,微積分的觀念也於此時趨於成熟。在積分方面,一六一五年,開普勒(Kepler)把酒桶看作一個由無數圓薄片積累而成的物件,從而求出其體積。而伽利略(Galileo)的學生卡瓦列里(Cavalieri)即認為一條線由無窮多個點構成;一個面由無窮多條線構成;一個立體由無窮多個面構成。這些想法都是積分法的前驅。

在微分方面,十七世紀人類也有很大的突破。費馬(Fermat)在一封給羅貝瓦(Roberval)的信中,提及計算函數的極大值和極小值的步驟,而這實際上已相當於現代微分學中所用,設函數導數為零,然後求出函數極點的方法。另外,巴羅(Barrow)亦已經懂得透過「微分三角形」(相當於以 dxdyds 為邊的三角形)求出切線的方程,這和現今微分學中用導數求切線的方法是一樣的。由此可見,人類在十七世紀已經掌握了微分的要領。

然而,直至十七世紀中葉,人類仍然認為微分和積分是兩個獨立的觀念。就在這個時候,牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個貌似不相關的問題,透過「微積分基本定理」或「牛頓 - 萊布尼茨公式」連繫起來,說明求積分基本上是求微分之逆,求微分也是求積分之逆。這是微積分理論中的基石,是微積分發展一個重要的里程碑。

微積分誕生以後,逐漸發揮出它非凡的威力,過去很多初等數學束手無策的問題,至此往往迎刃而解。例如,雅各布.伯努利(Jakob Bernoulli)用微積分的技巧,發現對數螺線經過各種適當的變換之後,仍然是對數螺線3。他的弟弟約翰.伯努利(Johnann Bernoulli)在一六九六年提出一個「最速降線」問題︰「一質點受地心吸力的作用,自較高點下滑至較低點,不計摩擦,問沿著什麼曲線,時間最短?」這條問題後來促使了變分學誕生4。歐拉(Euler)的《引論》、《微分學》、《積分學》亦總結了自十七世紀微積分的全部成果。

儘管如此,微積分的理論基礎問題,仍然在當時的數學界引起很多爭論5。牛頓的「無窮小量」,有時是零,有時又不是零,他的極限理論也是十分模糊的。萊布尼茨的微積分同樣不能自圓其說。這個問題要到十九世紀才得到完滿的解答,所以微積分在當時,惹來不少反對的聲音,當中包括數學家羅爾(Rolle)。儘管如此,羅爾本身亦曾提出一條與微積分有關的定理︰他指出任意的多項式 f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ... 的任何兩個實根之間都存在至少一個 b + 2cx + 3dx2 + ... 的實根。熟悉微積分的朋友會知道,b + 2cx + 3dx2 + ... 其實是 f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ... 的導數6。後人將這條定理推廣至可微函數,發現若函數 f (x) 可微,則在 f (x) = 0 的任何兩個實根之間,方程 f'(x) = 0 至少有一個實根。這條定理被冠為「羅爾定理」,是為微分學的基本定理之一。由此可見,在挑戰微積分的理論基礎的同時,數學家已經就微積分的發展作出了很大的貢獻。


三、 十九世紀基礎的奠定

微積分的發展迅速,使人來不及檢查和鞏固微積分的理論基礎。十九世紀,許多迫切問題基本上經已解決,數學家於是轉向微積分理論的基礎重建,人類亦終於首次給出極限、微分和積分等概念的嚴格定義。

一八一六年,波爾查諾(Bolzano)在人類歷史上首次給出連續函數的近代定義。繼而在一八二一年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出 e 方法,後來在一八二三年的《概要》中他改寫為 d 方法,把整個極限過程用不等式來刻畫,使無窮的運算化為一系列不等式的推算,這就是所謂極限概念的「算術化」。後來外爾斯特拉斯 (Weierstrass)將 ed 聯繫起來,完成了 e-d 方法,這就是現代極限的嚴格定義。

有了極限的嚴格定義,數學家便開始嘗試嚴格定義導數和積分。在柯西之前,數學家通常以微分為微積分的基本概念,並把導數視作微分的商。然而微分的概念模糊,把導數定義作微分的商因此並不嚴謹。於是柯西《概要》中直接定義導數為差商的極限,這就是現代導數的嚴格定義,是為現代微分學的基礎。

在《概要》中,柯西還給出連續函數的積分的定義:設 f(x) 為在 [a,b] 上連續的函數,則任意用分點 a = x0 < ... < xn = b,將 [a,b] 分為 n 個子區間 [xi-1,xi] (i = 1, 2, ..., n),若果和式

當最大子區間的長度趨向 0 時,極限存在,則此極限稱為函數 f(x) 在 [a,b] 上的積分。這跟現代連續函數積分的定義是一致的。

後來黎曼(Riemann)推廣了柯西的定義。黎曼的定義跟柯西的定義不同的地方,在於和式 S 的定義:在黎曼的定義中,和式 S 定義為

(留意黎曼在黎曼和中用了 [xi-1,xi] 中任意一點 xi-1,而柯西在其和式 S 中則永遠選取子區間 [xi-1,xi] 的左端點 xi-1)。我們說黎曼推廣了柯西的定義,是因為對所有在 [a,b] 上連續的函數,柯西積分的值跟黎曼積分的值一樣,而且有一些在 [a,b] 上不連續的函數,當最大子區間的長度趨向 0 時 S 的極限依然存在。這就是現在所用的「黎曼積分」的定義;至此微積分理論的基礎重建已經大致完成。

柯西以後,微積分邏輯基礎發展史上的最重大事件是人類從集合理論出發,建立了實數理論--我們說實數理論的建立是微積分理論發展史上的一件大事,是因為微積分的理論用上了很多實數的性質。這實數理論的建立,主要功勞歸於戴德金(Dedekind)、康托爾(Cantor)、外爾斯特拉斯等人。一八七二年,梅雷(Méray)提出的無理數定義,和同一年康托爾提出用有理「基本序列」來定義無理數實質相同。有了實數理論,加上集合論和極限理論,微積分就自從三百年以來,首次有了鞏固的邏輯基礎,而微積分的理論亦終於趨於完備。

註:

1. 悖論是一些似是而非的推論;這些推論在邏輯上都是不成立的。當然,在這個例子裏,我們現在知道芝諾提出的是悖論,是因為我們現在有一套已經發展得很完備的邏輯系統。在芝諾的時代,芝諾以至其他學者都還沒有意識到其推論的謬誤。[返回原文]

2. 歷史上那個追烏龜的人名叫阿基琉斯(Achilles)。[返回原文]

3. 在驚嘆和欣賞這曲線的神奇巧妙之餘,他要求死後將對數螺線刻在自己的墓碑上,並附以頌詞「縱使變化,依然故我!」。[返回原文]

4. 變分學是微積分的一個分支。[返回原文]

5. 另外,牛頓比萊布尼茨早十年研究微積分,但萊布尼茨卻比牛頓早三年發表研究結果,這引發了微積分發明優先權的爭論。[返回原文]

6. 不熟悉微積分的朋友,可把 b + 2cx + 3dx2 + ... 看作用 0、1、2、…… 各項分別乘原多項式 f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ... 各項再除以 x 所得到的方程。[返回原文]

參考︰梁宗巨著。數學歷史典故,九章出版社。